a) \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND}  \\=  \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MN} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND} } \right) \\=  \overrightarrow 0  + 2\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow 0  = 2\overrightarrow {MN} \) (đpcm)                                                             

b) \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \)

\(\)\(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND} \)

\(\left( {\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {AM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MN} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN} \)

Mặt khác ta có: \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {MN} \)

Suy ra \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \)

Cách 2: 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DC} (đpcm)
\end{array}\)

N là trung điểm của CD:

2= + (1)

Theo quy tắc 3 điểm, ta có:

= + (2)

= + (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: 2= +++

vì M là trung điểm của Ab nên: + =

Suy ra : 2 = +

Chứng minh tương tự, ta có 2 = +

Chú ý: Sau khi chứng minh 2 C = + ta chỉ cần chứng minh thêm + = + cũng được

Ta có: + = +++

= +++= ++

Vì = nên ta có: +=+

và 2= + = +

1/ \(\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\)

\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AG}\)

Ban tu ket luan

2/ Bạn coi lại đề bài, đẳng thức kia có vấn đề. 2k-1IB??

Áp dụng tính chất trung điểm ta có:
Do J là trung điểm của BD nên \(2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}\).
Theo quy tắc ba điểm: \(\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CD}\).
Vì vậy: \(2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CD}\)
\(=\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}\right)+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\right)\)
\(=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\) (ĐPCM).

Tham khảo:

Dễ thấy: \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA} \); \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} \)

Tương tự: \(\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {NC} \); \(\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {ND} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {NC} } \right) + \left( {\overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {ND} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND} } \right)\\ = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {ON} \\ = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON} } \right)\\ = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0 \\ = \overrightarrow 0 .\end{array}\)